Математический анализ Примеры

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $x$ на $y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $2 x + y^{2} = 8$ на $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $2$ на $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ в $2 y + y^{2} = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Этап 1.2.2.2

Разложим $2 u + u^{2} - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

Этап 1.2.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Этап 1.2.4

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Этап 1.2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Этап 1.2.5

Приравняем $y + 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $y + 4$ к $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 2) (y + 4) = 0$ верно.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $y$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y$ на $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = y$ на $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Этап 2

Решим $2 x + y^{2} = 8$ , выразив через $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x = 8 - y^{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x = 8 - y^{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 8 - y^{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим $8$ на $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Этап 2.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Этап 4.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Этап 4.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Этап 4.7

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Этап 4.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Этап 4.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Этап 4.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Найдем значение $4 y$ в $2$ и в $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Этап 4.10.2.2

Найдем значение $\frac{1}{3} y^{3}$ в $2$ и в $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Этап 4.10.2.3

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $2$ и в $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.3

Добавим $8$ и $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.6

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.7

Умножим $- 64$ на $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.8

Объединим $64$ и $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.10

Добавим $8$ и $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.11

Сократим общий множитель $72$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.11.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.11.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.12

Умножим $24$ на $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.13

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.14.2.4

Разделим $- 12$ на $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.15

Вычтем $12$ из $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.17

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.17.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.17.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 4.10.2.4.18

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Этап 4.10.2.4.19

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.19.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 4.10.2.4.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.4.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 4.10.2.4.19.2.2

Сократим общий множитель.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 4.10.2.4.19.2.3

Перепишем это выражение.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Этап 4.10.2.4.19.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Этап 4.10.2.4.20

Умножим $- 1$ на $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Этап 4.10.2.4.21

Вычтем $8$ из $2$ .

$12 - - 6$

Этап 4.10.2.4.22

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$12 + 6$

Этап 4.10.2.4.23

Добавим $12$ и $6$ .

$18$

Этап 5