Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл в пределах от 1 до 7 от (( натуральный логарифм x)^2)/(x^3) по x
Этап 1
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 1.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.2
Умножим на .
Этап 2
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Объединим и .
Этап 3.2
Умножим на .
Этап 3.3
Возведем в степень .
Этап 3.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.5
Добавим и .
Этап 4
Перепишем в виде .
Этап 5
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 6
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.1.2
Умножим на .
Этап 6.1.3
Умножим на .
Этап 6.2
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 6.2.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.2.2.2
Умножим на .
Этап 7
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Объединим и .
Этап 8.2
Умножим на .
Этап 8.3
Возведем в степень .
Этап 8.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 8.5
Добавим и .
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Умножим на .
Этап 10.2
Умножим на .
Этап 11
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 12
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 12.2
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 12.2.2
Умножим на .
Этап 13
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 14
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Объединим и .
Этап 14.2
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.1
Найдем значение в и в .
Этап 14.2.2
Найдем значение в и в .
Этап 14.2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.3.1
Возведем в степень .
Этап 14.2.3.2
Умножим на .
Этап 14.2.3.3
Возведем в степень .
Этап 14.2.3.4
Умножим на .
Этап 14.2.3.5
Единица в любой степени равна единице.
Этап 14.2.3.6
Умножим на .
Этап 14.2.3.7
Единица в любой степени равна единице.
Этап 14.2.3.8
Умножим на .
Этап 14.2.3.9
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.2.3.10
Объединим и .
Этап 14.2.3.11
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.2.3.12
Умножим на .
Этап 14.2.3.13
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 14.2.3.14
Возведем в степень .
Этап 14.2.3.15
Умножим на .
Этап 14.2.3.16
Умножим на .
Этап 14.2.3.17
Единица в любой степени равна единице.
Этап 14.2.3.18
Умножим на .
Этап 14.2.3.19
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.2.3.20
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.3.20.1
Умножим на .
Этап 14.2.3.20.2
Умножим на .
Этап 14.2.3.21
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.2.3.22
Добавим и .
Этап 14.2.3.23
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.3.23.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.2.3.23.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.3.23.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.2.3.23.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.2.3.23.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.2.3.24
Умножим на .
Этап 14.2.3.25
Умножим на .
Этап 14.2.3.26
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.3.26.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.2.3.26.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.2.3.26.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.2.3.26.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.2.3.26.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 15
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.2.2
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.2.1
Натуральный логарифм равен .
Этап 15.2.2.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 15.2.2.3
Умножим на .
Этап 15.2.2.4
Натуральный логарифм равен .
Этап 15.2.2.5
Умножим на .
Этап 15.2.3
Добавим и .
Этап 15.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.4.2
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.4.3
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.5
Умножим на .
Этап 15.3
Добавим и .
Этап 15.4
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.4.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 15.5
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 15.6
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.6.1
Умножим на .
Этап 15.6.2
Умножим на .
Этап 15.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 15.8
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.8.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 15.8.2
Умножим на .
Этап 16
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: