Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(x - 1)}^{- 2}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$