Математический анализ Примеры

$\frac{x}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.2.2

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Этап 4.3.2.4

Разделим $e^{- x} (- x + 1)$ на $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Этап 4.6

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$