Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{4} - 16}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4} - 16}$ в виде ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Этап 1.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 1.5.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.5.4

Перенесем $8$ влево от $x^{3}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Перенесем $3$ влево от ${(x^{4} - 16)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 16) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2

Перенесем $4$ влево от $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 16) x^{3}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5.5.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 16) x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.7

Добавим $3$ и $3$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.8

Объединим $- 8$ и $\frac{3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 {(x^{4} - 16)}^{2} x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Перепишем ${(x^{4} - 16)}^{2}$ в виде $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 ((x^{4} - 16) (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2

Развернем $(x^{4} - 16) (x^{4} - 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} (x^{4} - 16) - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 (x^{4} - 16)) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.3.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3.1.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 16 - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3.1.2

Перенесем $- 16$ влево от $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 \cdot x^{4} - 16 x^{4} - 16 \cdot - 16) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3.1.3

Умножим $- 16$ на $- 16$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 16 x^{4} - 16 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.3.2

Вычтем $16 x^{4}$ из $- 16 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{8} - 32 x^{4} + 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.5.1

Умножим $- 32$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 3 \cdot 256) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.5.2

Умножим $3$ на $256$ .

$f'' (x) = - \frac{8 ((3 x^{8} - 96 x^{4} + 768) x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{8} x^{2} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.7.1

Умножим $x^{8}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.7.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 (x^{2} x^{8}) - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2 + 8} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.7.1.3

Добавим $2$ и $8$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{4} x^{2} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.7.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.7.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 (x^{2} x^{4}) + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{2 + 4} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.7.2.3

Добавим $2$ и $4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10} - 96 x^{6} + 768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{10}) + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.9.1

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} + 8 (- 96 x^{6}) + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.9.2

Умножим $- 96$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 8 (768 x^{2}) + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.9.3

Умножим $768$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{6} x^{4}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.10

Умножим $x^{6}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.10.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{4 + 6}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.10.3

Добавим $4$ и $6$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 8 (- 8 x^{10}) + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.11

Умножим $- 8$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (- 8 x^{6} \cdot - 16)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.12

Умножим $- 16$ на $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 8 (128 x^{6})}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.1.13

Умножим $128$ на $8$ .

$f'' (x) = - \frac{24 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} - 64 x^{10} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.2

Вычтем $64 x^{10}$ из $24 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} - 768 x^{6} + 6144 x^{2} + 1024 x^{6}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.3.3

Добавим $- 768 x^{6}$ и $1024 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $- 40 x^{10} + 256 x^{6} + 6144 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1.1

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $- 40 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 256 x^{6} + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.1.2

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $256 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 6144 x^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.1.3

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $6144 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.1.4

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $8 x^{2} (- 5 x^{8}) + 8 x^{2} (32 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.1.5

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4}) + 8 x^{2} (768)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{8} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.2

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{4})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 32 x^{4} + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.3

Пусть $u = x^{4}$ . Подставим $u$ вместо $x^{4}$ для всех.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 5 \cdot 768 = - 3840$ , а сумма — $b = 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.4.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 u$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + 32 (u) + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.4.1.2

Запишем $32$ как $- 48$ плюс $80$

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 48 + 80) u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 u^{2} - 48 u + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u^{2} - 48 u) + 80 u + 768)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (u (- 5 u - 48) - 16 (- 5 u - 48))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 5 u - 48$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 u - 48) (u - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} ((- 5 x^{4} - 48) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.4.9

Разложим на множители.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Этап 2.10.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Этап 2.10.5.3

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Этап 2.10.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Этап 2.10.5.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Этап 2.10.5.5

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.6

Развернем $(x^{2} + 4) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.7.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.7.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.7.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.7.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.7.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.7.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.8

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.8.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.8.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.9

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.5.10

Применим правило умножения к $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ и ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.6.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 2.10.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 4) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2))}{(x^{2} + 4) ({(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 2.10.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.7

Сократим общий множитель $x + 2$ и ${(x + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48) (x + 2)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{{(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.2.1

Вынесем множитель $x + 2$ из ${(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 2.10.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 2.10.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.8

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.8.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)) (x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.10.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.8.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Этап 2.10.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Этап 2.10.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 5 x^{4} - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.10

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x^{4}) - 1 (48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.12

Перепишем $- (5 x^{4} + 48)$ в виде $- 1 (5 x^{4} + 48)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 48))}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Этап 2.10.15

Умножим $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.16

Изменим порядок множителей в $\frac{(8 x^{2}) (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} (5 x^{4} + 48)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{4} - 16}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Этап 4.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4} - 16}$ в виде ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 4.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Этап 4.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Этап 4.1.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Этап 4.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 4.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 4.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 4.1.5.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.5.4

Перенесем $8$ влево от $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x^{3} = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $8 x^{3} = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Разделим каждый член $8 x^{3} = 0$ на $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 5.3.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Этап 5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.3

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.2.1

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.5

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.6

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3.2

Решим ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 6.2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 6.2.3.2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 6.2.3.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.2.3.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.2.3.2.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.2.3.2.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 6.2.3.2.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 6.2.3.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 6.2.3.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 6.2.3.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 6.2.4

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.4.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2.4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.2.5

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.5.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2.5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 48)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} (0 + 48)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Добавим $0$ и $48$ .

$\frac{8 \cdot 0^{2} \cdot 48}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.4

Умножим $48$ на $8$ .

$\frac{384 \cdot 0^{2}}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.4

Применим правило умножения к $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{384 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.6

Умножим ${(0 - 2)}^{3}$ на ${(0 - 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Перенесем ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.2.6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{384 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.3

Умножим $384$ на $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Этап 9.4.3

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.2

Применим правило умножения к $- 1 (2)$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.3

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.4

Умножим $2^{6}$ на $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Этап 9.4.4.6

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Этап 9.4.4.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Этап 9.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Этап 9.4.4.8

Добавим $6$ и $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Этап 9.4.5

Возведем $2$ в степень $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 4096}$

Этап 9.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $- 1$ на $4096$ .

$\frac{0}{- 4096}$

Этап 9.5.2

Разделим $0$ на $- 4096$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $16$ из $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Этап 10.2.2.2.3

Возведем $240$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Этап 10.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Умножим $8$ на $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Этап 10.2.2.3.2

Сократим общий множитель $- 512$ и $57600$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $256$ из $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Этап 10.2.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $256$ из $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Этап 10.2.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Этап 10.2.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Этап 10.2.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Этап 10.2.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 10.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Этап 10.3.2.2.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Этап 10.3.2.2.3

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Этап 10.3.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Этап 10.3.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Этап 10.4

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11