Математический анализ Примеры

$f (θ) = \sin (θ)$ , $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = \cos (θ)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 1.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.6

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.7

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\sin (θ)$ для каждого значения $θ$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $θ = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $θ$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $θ = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $θ$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.4.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{π}{2}, 1), (- \frac{π}{2}, - 1)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $θ = - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $- \frac{π}{2}$ вместо $θ$ .

$\sin (- \frac{π}{2})$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 3.1.2.2

$- \sin (\frac{π}{2})$

Этап 3.1.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3.2

Найдем значение в $θ = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $\frac{5 π}{6}$ вместо $θ$ .

$\sin (\frac{5 π}{6})$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (\frac{π}{6})$

Этап 3.2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(- \frac{π}{2}, - 1), (\frac{5 π}{6}, \frac{1}{2})$

Этап 4

Сравним значения $f (θ)$ , найденные для каждого значения $θ$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (θ)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (θ)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{2}, 1)$

Абсолютный минимум: $(- \frac{π}{2}, - 1)$

Этап 5