Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ , $[- 1, 1]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t^{2} + 3$ .

$\frac{(t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 3) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $t^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 3) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3]}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.3

По правилу суммы производная $t^{2} + 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.6.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 3) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.1.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 \cdot 3 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 t^{3} + 6 t - 2 t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.3.2.1

Вычтем $2 t^{3}$ из $2 t^{3}$ .

$\frac{6 t + 0}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.1.6.3.2.2

Добавим $6 t$ и $0$ .

$f' (t) = \frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $g (t)$ по $t$ равна $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{6 t}{{(t^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$6 t = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $6 t = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $6 t = 0$ на $6$ .

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 t}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{0}{6}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$t = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\frac{t^{2}}{t^{2} + 3}$ для каждого значения $t$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $t$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 3}$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 + 3}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{0}{3}$

Этап 1.4.1.2.3

Разделим $0$ на $3$ .

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $t = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 1$ вместо $t$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Этап 2.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1 + 3}$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 2.2

Найдем значение в $t = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $1$ вместо $t$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 3}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1^{2} + 3}$

Этап 2.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1 + 3}$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Этап 3

Сравним значения $g (t)$ , найденные для каждого значения $t$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $g (t)$ , а минимум — при наименьшем значении $g (t)$ .

Абсолютный максимум: $(- 1, \frac{1}{4}), (1, \frac{1}{4})$

Абсолютный минимум: $(0, 0)$

Этап 4