Математический анализ Примеры

$f (x) = | x |$ , given $\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{| x |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 1.2.3

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{| x |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.3.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $| x |$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$| 0 |$

Этап 1.4.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$0$

Этап 1.4.2

Перечислим все точки.

$(0, 0)$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $\sqrt{5}$ вместо $x$ .

$| \sqrt{5} |$

Этап 3.1.2

$\sqrt{5}$ приблизительно равно $2.23606797$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\sqrt{5}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = \sqrt{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $\sqrt{13}$ вместо $x$ .

$| \sqrt{13} |$

Этап 3.2.2

$\sqrt{13}$ приблизительно равно $3.60555127$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\sqrt{13}$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\sqrt{13}, \sqrt{13})$

Абсолютный минимум: $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$

Этап 5