Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ , $[- 4, 1]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $2$ на $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Этап 1.1.1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 1.4.1.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 1.4.1.2.1.3

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 1.4.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

Этап 1.4.1.2.1.5

Умножим $18$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 4$

Этап 1.4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 4$

Этап 1.4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 4$

Этап 1.4.1.2.2.3

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

${(- 3)}^{4} + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$81 + 8 {(- 3)}^{3} + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Этап 1.4.2.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$81 + 8 \cdot - 27 + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Этап 1.4.2.2.1.3

Умножим $8$ на $- 27$ .

$81 - 216 + 18 {(- 3)}^{2} + 4$

Этап 1.4.2.2.1.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$81 - 216 + 18 \cdot 9 + 4$

Этап 1.4.2.2.1.5

Умножим $18$ на $9$ .

$81 - 216 + 162 + 4$

Этап 1.4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Вычтем $216$ из $81$ .

$- 135 + 162 + 4$

Этап 1.4.2.2.2.2

Добавим $- 135$ и $162$ .

$27 + 4$

Этап 1.4.2.2.2.3

Добавим $27$ и $4$ .

$31$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0, 4), (- 3, 31)$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

${(- 4)}^{4} + 8 {(- 4)}^{3} + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$256 + 8 {(- 4)}^{3} + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Этап 2.1.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$256 + 8 \cdot - 64 + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Этап 2.1.2.1.3

Умножим $8$ на $- 64$ .

$256 - 512 + 18 {(- 4)}^{2} + 4$

Этап 2.1.2.1.4

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$256 - 512 + 18 \cdot 16 + 4$

Этап 2.1.2.1.5

Умножим $18$ на $16$ .

$256 - 512 + 288 + 4$

Этап 2.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вычтем $512$ из $256$ .

$- 256 + 288 + 4$

Этап 2.1.2.2.2

Добавим $- 256$ и $288$ .

$32 + 4$

Этап 2.1.2.2.3

Добавим $32$ и $4$ .

$36$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

${(1)}^{4} + 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 8 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $8$ на $1$ .

$1 + 8 + 18 {(1)}^{2} + 4$

Этап 2.2.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 8 + 18 \cdot 1 + 4$

Этап 2.2.2.1.5

Умножим $18$ на $1$ .

$1 + 8 + 18 + 4$

Этап 2.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Добавим $1$ и $8$ .

$9 + 18 + 4$

Этап 2.2.2.2.2

Добавим $9$ и $18$ .

$27 + 4$

Этап 2.2.2.2.3

Добавим $27$ и $4$ .

$31$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 4, 36), (1, 31)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(- 4, 36)$

Абсолютный минимум: $(0, 4)$

Этап 4