Математический анализ Примеры

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ , $0 \leq θ \leq 2 π$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 \cos (θ)$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 1.1.1.2.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 1.1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 1.1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 1.1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Этап 1.1.1.3.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Этап 1.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 1.2.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 1.2.4.2.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.4.2.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5

Приравняем $- \cos (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $- \cos (θ) - 1$ к $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $- \cos (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (θ) = 1$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- \cos (θ) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (θ) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.2.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Этап 1.2.5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- 1)$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$θ = π$

Этап 1.2.5.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - π$

Этап 1.2.5.2.6

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$θ = π$

Этап 1.2.5.2.7

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.5.2.8

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.7

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ для каждого значения $θ$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $θ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Этап 1.4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Этап 1.4.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 + 1^{2}$

Этап 1.4.1.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 1$

Этап 1.4.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $θ = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $π$ вместо $θ$ .

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Этап 1.4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Этап 1.4.2.2.1.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Этап 1.4.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + \cos^{2} (π)$

Этап 1.4.2.2.1.4

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

Этап 1.4.2.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 + 1$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1$

Этап 1.4.3

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$ , для любого целого $n$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(0, 3), (2 π, 3), (π, - 1)$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $θ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $0$ вместо $θ$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Этап 3.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 + 1^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 1$

Этап 3.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 3.2

Найдем значение в $θ = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $2 π$ вместо $θ$ .

$2 \cos (2 π) + \cos^{2} (2 π)$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (0) + \cos^{2} (2 π)$

Этап 3.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (2 π)$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \cos^{2} (2 π)$

Этап 3.2.2.1.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 + \cos^{2} (0)$

Этап 3.2.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 + 1^{2}$

Этап 3.2.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 1$

Этап 3.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(0, 3), (2 π, 3)$

Этап 4

Сравним значения $f (θ)$ , найденные для каждого значения $θ$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (θ)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (θ)$ .

Абсолютный максимум: $(0, 3), (2 π, 3)$

Абсолютный минимум: $(π, - 1)$

Этап 5