Математический анализ Примеры

$6 x^{4} - 32 x^{3} + 48 x^{2} - 7$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} - 32 x^{3} + 48 x^{2} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{3}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x^{3} - 32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 32$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $48$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ и $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 96 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96 x^{2}$ по $x$ равна $- 96 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 96$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + \frac{d}{d x} (96 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $96$ является константой относительно $x$ , производная $96 x$ по $x$ равна $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + 96 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + 96 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $96$ на $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 192 x + 96$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{3}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x^{3} - 32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 32$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $48$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ и $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x^{3}$ .

$24 x (x^{2}) - 96 x^{2} + 96 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $24 x$ из $- 96 x^{2}$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (- 4 x) + 96 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $24 x$ из $96 x$ .

$24 x (x^{2}) + 24 x (- 4 x) + 24 x (4) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x (x^{2}) + 24 x (- 4 x)$ .

$24 x (x^{2} - 4 x) + 24 x (4) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x (x^{2} - 4 x) + 24 x (4)$ .

$24 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$24 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$24 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$24 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.5.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $24 x {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$72 {(0)}^{2} - 192 \cdot 0 + 96$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$72 \cdot 0 - 192 \cdot 0 + 96$

Этап 9.1.2

Умножим $72$ на $0$ .

$0 - 192 \cdot 0 + 96$

Этап 9.1.3

Умножим $- 192$ на $0$ .

$0 + 0 + 96$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 96$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $96$ .

$96$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 6 {(0)}^{4} - 32 {(0)}^{3} + 48 {(0)}^{2} - 7$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 - 32 {(0)}^{3} + 48 {(0)}^{2} - 7$

Этап 11.2.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 32 {(0)}^{3} + 48 {(0)}^{2} - 7$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 32 \cdot 0 + 48 {(0)}^{2} - 7$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 32$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 48 {(0)}^{2} - 7$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 48 \cdot 0 - 7$

Этап 11.2.1.6

Умножим $48$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 7$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 7$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 7$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $7$ из $0$ .

$f (0) = - 7$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 7$ .

$y = - 7$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$72 {(2)}^{2} - 192 \cdot 2 + 96$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$72 \cdot 4 - 192 \cdot 2 + 96$

Этап 13.1.2

Умножим $72$ на $4$ .

$288 - 192 \cdot 2 + 96$

Этап 13.1.3

Умножим $- 192$ на $2$ .

$288 - 384 + 96$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $384$ из $288$ .

$- 96 + 96$

Этап 13.2.2

Добавим $- 96$ и $96$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} - 96 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 - 96 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Этап 14.2.2.1.2

Умножим $24$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 96 {(- 2)}^{2} + 96 (- 2)$

Этап 14.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 192 - 96 \cdot 4 + 96 (- 2)$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $- 96$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 384 + 96 (- 2)$

Этап 14.2.2.1.5

Умножим $96$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 192 - 384 - 192$

Этап 14.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Вычтем $384$ из $- 192$ .

$f' (- 2) = - 576 - 192$

Этап 14.2.2.2.2

Вычтем $192$ из $- 576$ .

$f' (- 2) = - 768$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $- 768$ .

$- 768$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, 2)$ в первую производную $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} - 96 {(1)}^{2} + 96 (1)$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 24 \cdot 1 - 96 {(1)}^{2} + 96 (1)$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $24$ на $1$ .

$f' (1) = 24 - 96 {(1)}^{2} + 96 (1)$

Этап 14.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 24 - 96 \cdot 1 + 96 (1)$

Этап 14.3.2.1.4

Умножим $- 96$ на $1$ .

$f' (1) = 24 - 96 + 96 (1)$

Этап 14.3.2.1.5

Умножим $96$ на $1$ .

$f' (1) = 24 - 96 + 96$

Этап 14.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вычтем $96$ из $24$ .

$f' (1) = - 72 + 96$

Этап 14.3.2.2.2

Добавим $- 72$ и $96$ .

$f' (1) = 24$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$24$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $24 x^{3} - 96 x^{2} + 96 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 24 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 24 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $24$ на $64$ .

$f' (4) = 1536 - 96 {(4)}^{2} + 96 (4)$

Этап 14.4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 1536 - 96 \cdot 16 + 96 (4)$

Этап 14.4.2.1.4

Умножим $- 96$ на $16$ .

$f' (4) = 1536 - 1536 + 96 (4)$

Этап 14.4.2.1.5

Умножим $96$ на $4$ .

$f' (4) = 1536 - 1536 + 384$

Этап 14.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Вычтем $1536$ из $1536$ .

$f' (4) = 0 + 384$

Этап 14.4.2.2.2

Добавим $0$ и $384$ .

$f' (4) = 384$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $384$ .

$384$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 6 x^{4} - 32 x^{3} + 48 x^{2} - 7$ .

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 15