Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $- 1$ , $1.5$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x^{4} - 16}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Этап 1.1.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4} - 16}$ в виде ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Этап 1.1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Этап 1.1.1.3.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Этап 1.1.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.5.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Этап 1.1.1.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Этап 1.1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 1.1.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 1.1.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Этап 1.1.1.5.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.1.5.4

Перенесем $8$ влево от $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x^{3} = 0$

Этап 1.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $8 x^{3} = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Разделим каждый член $8 x^{3} = 0$ на $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 1.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 1.2.3.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Этап 1.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$x^{3} = 0$

Этап 1.2.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 1.2.3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 1.2.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.4.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.5

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.1.6

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.3

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.3.2

Решим ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 1.3.2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 1.3.2.3.2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 1.3.2.3.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 1.3.2.3.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 1.3.2.3.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 1.3.2.3.2.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.3.2.3.2.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 1.3.2.3.2.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 1.3.2.3.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 1.3.2.3.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 1.3.2.3.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 1.3.2.4

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.4.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.3.2.4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.3.2.5

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.5.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 1.3.2.5.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 1.3.2.5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.3.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Этап 1.3.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 1.4

Вычислим $\frac{2}{x^{4} - 16}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Этап 1.4.1.2.1.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Этап 1.4.1.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Этап 1.4.1.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Этап 1.4.1.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Этап 1.4.1.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 8}$

Этап 1.4.1.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{2}{0}$

Этап 1.4.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Этап 1.4.3.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{2}{0}$

Этап 1.4.3.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 1.4.4

Перечислим все точки.

$(0, - \frac{1}{8})$

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$\frac{2}{{(- 1)}^{4} - 16}$

Этап 2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{2}{1 - 16}$

Этап 2.1.2.1.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$\frac{2}{- 15}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{15}$

Этап 2.2

Найдем значение в $x = 1.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Подставим $1.5$ вместо $x$ .

$\frac{2}{{(1.5)}^{4} - 16}$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Возведем $1.5$ в степень $4$ .

$\frac{2}{5.0625 - 16}$

Этап 2.2.2.1.2

Вычтем $16$ из $5.0625$ .

$\frac{2}{- 10.9375}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $2$ на $- 10.9375$ .

$- 0.18285714$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(- 1, - \frac{2}{15}), (1.5, - 0.18285714)$

Этап 3

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(0, - \frac{1}{8})$

Абсолютный минимум: $(1.5, - 0.18285714)$

Этап 4