Математический анализ Примеры

Найти абсолютный максимум и минимум на интервале g(x)=(x^2+4)/(10x)
Этап 1
Найдем первую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.4
Добавим и .
Этап 1.4
Возведем в степень .
Этап 1.5
Возведем в степень .
Этап 1.6
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.7
Добавим и .
Этап 1.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.9
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.9.1
Умножим на .
Этап 1.9.2
Умножим на .
Этап 1.10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.10.2
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.10.2.1
Умножим на .
Этап 1.10.2.2
Вычтем из .
Этап 1.10.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.10.3.1
Перепишем в виде .
Этап 1.10.3.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 2
Найдем вторую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.3.2
Умножим на .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.5
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.5.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.4.1
Добавим и .
Этап 2.5.4.2
Умножим на .
Этап 2.5.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.5.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.5.8
Упростим путем добавления членов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.8.1
Добавим и .
Этап 2.5.8.2
Умножим на .
Этап 2.5.8.3
Добавим и .
Этап 2.5.8.4
Упростим путем вычитания чисел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.8.4.1
Вычтем из .
Этап 2.5.8.4.2
Добавим и .
Этап 2.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.1
Перенесем .
Этап 2.6.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.6.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.6.3
Добавим и .
Этап 2.7
Перенесем влево от .
Этап 2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.9
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.9.1
Умножим на .
Этап 2.9.2
Умножим на .
Этап 2.10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.10.2
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.1
Умножим на .
Этап 2.10.2.1.2
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.10.2.1.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.10.2.1.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.10.2.1.3
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.3.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.3.1.1.1
Перенесем .
Этап 2.10.2.1.3.1.1.2
Умножим на .
Этап 2.10.2.1.3.1.2
Умножим на .
Этап 2.10.2.1.3.1.3
Умножим на .
Этап 2.10.2.1.3.2
Вычтем из .
Этап 2.10.2.1.3.3
Добавим и .
Этап 2.10.2.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.10.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.5.1
Перенесем .
Этап 2.10.2.1.5.2
Умножим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.2.1.5.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.10.2.1.5.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.10.2.1.5.3
Добавим и .
Этап 2.10.2.2
Вычтем из .
Этап 2.10.2.3
Добавим и .
Этап 2.10.3
Объединим термины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.3.1
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.3.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.10.3.1.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.3.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.10.3.1.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.10.3.1.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.10.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.10.3.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.10.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.10.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.10.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.3
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.3.4
Добавим и .
Этап 4.1.4
Возведем в степень .
Этап 4.1.5
Возведем в степень .
Этап 4.1.6
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.1.7
Добавим и .
Этап 4.1.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.9
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.9.1
Умножим на .
Этап 4.1.9.2
Умножим на .
Этап 4.1.10
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.10.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.10.2
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.10.2.1
Умножим на .
Этап 4.1.10.2.2
Вычтем из .
Этап 4.1.10.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.10.3.1
Перепишем в виде .
Этап 4.1.10.3.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 5.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5.3.2
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
Приравняем к .
Этап 5.3.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.3.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.1
Приравняем к .
Этап 5.3.3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.3.4
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 6
Найдем значения, при которых производная не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.2.1.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 6.2.1.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1.3.1
Разделим на .
Этап 6.2.2
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 6.2.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.3.1
Перепишем в виде .
Этап 6.2.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.2.3.3
Плюс или минус равно .
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1.1
Возведем в степень .
Этап 9.1.2
Умножим на .
Этап 9.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10
 — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный максимум
Этап 11
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 11.2.1.2
Добавим и .
Этап 11.2.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.2.1
Умножим на .
Этап 11.2.2.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.2.2.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.2.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 11.2.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 11.2.2.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 11.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 12
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 13
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1.1
Возведем в степень .
Этап 13.1.2
Умножим на .
Этап 13.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 13.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14
 — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный минимум
Этап 15
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 15.2.1.2
Добавим и .
Этап 15.2.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.2.1
Умножим на .
Этап 15.2.2.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.2.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.2.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.2.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.2.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 16
Это локальные экстремумы .
 — локальный максимум
 — локальный минимум
Этап 17