Математический анализ Примеры

Найти абсолютный максимум и минимум на интервале h(x) = cube root of x , -8<=x<=1
,
Этап 1
Найдем критические точки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.1.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.1.1.4
Объединим и .
Этап 1.1.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.1.1.6
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1.6.1
Умножим на .
Этап 1.1.1.6.2
Вычтем из .
Этап 1.1.1.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.1.1.8
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1.8.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.1.1.8.2
Умножим на .
Этап 1.1.2
Первая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 1.2.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 1.2.3
Поскольку , решения отсутствуют.
Нет решения
Нет решения
Этап 1.3
Найдем значения, при которых производная не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 1.3.2
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 1.3.3
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.
Этап 1.3.3.2
Упростим каждую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.3.3.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 1.3.3.2.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 1.3.3.2.2.1.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.2.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.3.3.2.2.1.3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.3.2.2.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.3.3.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.3.3.3
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.1
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.1.1
Разделим каждый член на .
Этап 1.3.3.3.1.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.1.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.1.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.3.3.3.1.2.1.2
Разделим на .
Этап 1.3.3.3.1.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.1.3.1
Разделим на .
Этап 1.3.3.3.2
Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.
Этап 1.3.3.3.3
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.3.3.1
Перепишем в виде .
Этап 1.3.3.3.3.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.3.3.3.3.3
Плюс или минус равно .
Этап 1.4
Вычислим для каждого значения , для которого производная равна или не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.1
Подставим вместо .
Этап 1.4.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.4.1.2.2
Перепишем в виде .
Этап 1.4.1.2.3
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.
Этап 1.4.2
Перечислим все точки.
Этап 2
Вычислим на включенных конечных точках.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Подставим вместо .
Этап 2.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 2.1.2.2
Перепишем в виде .
Этап 2.1.2.3
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.
Этап 2.2
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Подставим вместо .
Этап 2.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 2.2.2.2
Любой корень из равен .
Этап 2.3
Перечислим все точки.
Этап 3
Сравним значения , найденные для каждого значения , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении , а минимум — при наименьшем значении .
Абсолютный максимум:
Абсолютный минимум:
Этап 4