Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 12 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $4 x^{2}$ из $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x^{2} (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Умножим $- 24$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $48$ из $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 80$ .

$- 80$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 3)$ в первую производную $4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $48$ из $32$ .

$f' (2) = - 16$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3, \infty)$ в первую производную $4 x^{3} - 12 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $4$ на $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 12$ на $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $432$ из $864$ .

$f' (6) = 432$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $432$ .

$432$

Этап 10.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 3$ , $x = 3$ — локальный минимум.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11