Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $\cos (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (x) - 1$

Этап 1.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

Этап 1.1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 1 - \sin (x)$ .

$- 1 - \sin (x)$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 1 - \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 1 - \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \sin (x) = 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $- \sin (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Этап 1.2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 1.2.7.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 1.2.9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.9.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.10

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.11

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 1.4

Вычислим $\cos (x) - x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $\frac{3 π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Этап 1.4.1.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.1.2.2

Вычтем $\frac{3 π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Подставим $\frac{7 π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Этап 1.4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Этап 1.4.2.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Этап 1.4.2.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - \frac{7 π}{2}$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $\frac{7 π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{7 π}{2}$

Этап 1.4.3

Найдем значение в $x = \frac{11 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим $\frac{11 π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Этап 1.4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Этап 1.4.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Этап 1.4.3.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - \frac{11 π}{2}$

Этап 1.4.3.2.2

Вычтем $\frac{11 π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{11 π}{2}$

Этап 1.4.4

Найдем значение в $x = \frac{15 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим $\frac{15 π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Этап 1.4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Этап 1.4.4.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Этап 1.4.4.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - \frac{15 π}{2}$

Этап 1.4.4.2.2

Вычтем $\frac{15 π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{15 π}{2}$

Этап 1.4.5

Найдем значение в $x = \frac{19 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Подставим $\frac{19 π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Этап 1.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Этап 1.4.5.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Этап 1.4.5.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - \frac{19 π}{2}$

Этап 1.4.5.2.2

Вычтем $\frac{19 π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{19 π}{2}$

Этап 1.4.6

Перечислим все точки.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

Этап 2

Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

Этап 3

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Подставим $\frac{π}{2}$ вместо $x$ .

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

Этап 3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - \frac{π}{2}$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $\frac{π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Этап 3.2

Найдем значение в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Подставим $2 π$ вместо $x$ .

$\cos (2 π) - (2 π)$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (0) - (2 π)$

Этап 3.2.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$1 - (2 π)$

Этап 3.2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 2 π$

Этап 3.3

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

Этап 4

Сравним значения $f (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $f (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $f (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

Абсолютный минимум: $(2 π, 1 - 2 π)$

Этап 5