Математический анализ Примеры

$m (x) = \ln (x)$ , given $\frac{1}{10} \leq x \leq \frac{1}{5}$

Этап 1

Найдем критические точки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Этап 1.1.2

Первая производная $m (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 1.3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 1.4

Вычислим $\ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\ln (0)$

Этап 1.4.1.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 1.5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 2

Вычислим на включенных конечных точках.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $\frac{1}{10}$ вместо $x$ .

$\ln (\frac{1}{10})$

Этап 2.2

Подставим $\frac{1}{5}$ вместо $x$ .

$\ln (\frac{1}{5})$

Этап 2.3

Перечислим все точки.

$(\frac{1}{10}, \ln (\frac{1}{10})), (\frac{1}{5}, \ln (\frac{1}{5}))$

Этап 3

Сравним значения $m (x)$ , найденные для каждого значения $x$ , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении $m (x)$ , а минимум — при наименьшем значении $m (x)$ .

Абсолютный максимум: $(\frac{1}{5}, \ln (\frac{1}{5}))$

Абсолютный минимум: $(\frac{1}{10}, \ln (\frac{1}{10}))$

Этап 4