Математический анализ Примеры

Найти абсолютный максимум и минимум на интервале y=sin(x) , 0<=x<=2pi
,
Этап 1
Найдем критические точки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Производная по равна .
Этап 1.1.2
Первая производная по равна .
Этап 1.2
Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Пусть первая производная равна .
Этап 1.2.2
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 1.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
Точное значение : .
Этап 1.2.4
Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в четвертом квадранте.
Этап 1.2.5
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2.5.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.1
Объединим и .
Этап 1.2.5.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.5.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.3.1
Умножим на .
Этап 1.2.5.3.2
Вычтем из .
Этап 1.2.6
Найдем период .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.1
Период функции можно вычислить по формуле .
Этап 1.2.6.2
Заменим на в формуле периода.
Этап 1.2.6.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между и равно .
Этап 1.2.6.4
Разделим на .
Этап 1.2.7
Период функции равен . Поэтому значения повторяются через каждые рад. в обоих направлениях.
, для любого целого
Этап 1.2.8
Объединим ответы.
, для любого целого
, для любого целого
Этап 1.3
Найдем значения, при которых производная не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 1.4
Вычислим для каждого значения , для которого производная равна или не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1.1
Подставим вместо .
Этап 1.4.1.2
Точное значение : .
Этап 1.4.2
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Подставим вместо .
Этап 1.4.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.2.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.
Этап 1.4.2.2.2
Точное значение : .
Этап 1.4.2.2.3
Умножим на .
Этап 1.4.3
Перечислим все точки.
, для любого целого
, для любого целого
, для любого целого
Этап 2
Исключим точки, которые не принадлежат данному интервалу.
Этап 3
Вычислим на включенных конечных точках.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Подставим вместо .
Этап 3.1.2
Точное значение : .
Этап 3.2
Найдем значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Подставим вместо .
Этап 3.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.2.1
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 3.2.2.2
Точное значение : .
Этап 3.3
Перечислим все точки.
Этап 4
Сравним значения , найденные для каждого значения , чтобы определить абсолютные максимум и минимум на заданном интервале. Максимум будет наблюдаться при наибольшем значении , а минимум — при наименьшем значении .
Абсолютный максимум:
Абсолютный минимум:
Этап 5