Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = - 7$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x - 5$ на $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.5

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $5$ из $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{8}{1}$

Этап 1.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим $8$ на $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Этап 1.5.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(4, - 7)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 8 \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y = - 8 x + 32 - 7$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $7$ из $32$ .

$y = - 8 x + 25$

Этап 3