Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} = 25$ at $(3, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Этап 1.2.3

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x$

Этап 1.3

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' = - 2 x$

Этап 1.5.2

Разделим каждый член $2 y y' = - 2 x$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим каждый член $2 y y' = - 2 x$ на $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Этап 1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Этап 1.5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Этап 1.5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Этап 1.5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{y}$

Этап 1.5.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{y}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 3$ в $y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$- \frac{3}{y}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $4$ .

$- \frac{3}{4}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3}{4}$ и координаты заданной точки $(3, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{3}{4}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Этап 2.3.1.5.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{4}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Этап 2.3.1.5.3

Умножим $3$ на $3$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - 4 = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + 4$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 + 4 \cdot 4}{4}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9 + 16}{4}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $9$ и $16$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{25}{4}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$

Этап 3