Математический анализ Примеры

$y = - \frac{1}{x}$ ; $x = 2$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = - \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 2.2.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2}$

Этап 2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{1}{{(2)}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{4}$ и координаты заданной точки $(2, - \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot (x - (2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot (x - 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 - 1}{2}$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 2}{2}$

Этап 3.3.2.4

Разделим $- 2$ на $2$ .

$y = \frac{x}{4} - 1$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} x - 1$

Этап 4