Математический анализ Примеры

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $1 + 11 x^{2}$ на $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $1 + 11 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.6

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x^{2}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.7

Умножим $11$ на $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.9

Умножим $2$ на $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $22 x^{2}$ из $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $6$ и $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $- 11$ на $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Этап 1.10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.11

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.1.2

Умножим $- 66$ на $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.1.3

Добавим $- 66$ и $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2.2

Умножим $11$ на $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2.3

Добавим $11$ и $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Этап 1.12.2.4

Возведем $12$ в степень $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Этап 1.12.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1

Сократим общий множитель $- 60$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Этап 1.12.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.3.1.2.1

Вынесем множитель $12$ из $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Этап 1.12.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Этап 1.12.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 5}{12}$

Этап 1.12.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{12}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{5}{12}$ и координаты заданной точки $(1, \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{5}{12}$ на $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Этап 2.3.2.5

Добавим $5$ и $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Этап 3