Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Этап 1.2.3

Упростим $\frac{1}{(- 1) - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 4}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = - \frac{1}{4}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 2.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2}$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = - 1$ .

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{16}$ и координаты заданной точки $(- 1, - \frac{1}{4})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

Этап 3.3.2.5

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

Этап 3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

Этап 4