Математический анализ Примеры

$y = x^{\cos (x)}$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{\cos (1)}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Этап 1.2.3

Упростим ${(1)}^{\cos (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$y = 1^{0.99984769}$

Этап 1.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $x^{\cos (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

Этап 2.1.2

Развернем $\ln (x^{\cos (x)})$ , вынося $\cos (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.5

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.7.2

Объединим $e^{\cos (x) \ln (x)}$ и $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

Этап 2.7.3

Изменим порядок членов.

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Этап 2.8

Найдем производную в $x = 1$ .

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.2

Упростим $0.99984769 \ln (1)$ путем переноса $0.99984769$ под логарифм.

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.6

Найдем значение $\sin (1)$ .

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.7

Умножим $- 1$ на $0.0174524$ .

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.8

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.9

Умножим $- 0.0174524$ на $0$ .

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Этап 2.9.1.10

Разделим $e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ на $1$ .

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

Этап 2.9.1.11

Найдем значение $\cos (1)$ .

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

Этап 2.9.1.12

Упростим $0.99984769 \ln (1)$ путем переноса $0.99984769$ под логарифм.

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

Этап 2.9.1.13

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

Этап 2.9.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 1 \cos (1)$

Этап 2.9.1.15

Умножим $\cos (1)$ на $1$ .

$0 + \cos (1)$

Этап 2.9.1.16

Найдем значение $\cos (1)$ .

$0 + 0.99984769$

Этап 2.9.2

Добавим $0$ и $0.99984769$ .

$0.99984769$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $0.99984769$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $0.99984769 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $0.99984769$ на $- 1$ .

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 0.99984769$ и $1$ .

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

Этап 4