Математический анализ Примеры

$y = \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 x}{x^{2} + 1}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $8$ и $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.11

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{- 8 {(1)}^{2} + 8}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.1.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{- 8 + 8}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.1.3

Добавим $- 8$ и $8$ .

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Этап 1.12.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Этап 1.12.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{4}$

Этап 1.12.3

Разделим $0$ на $4$ .

$0$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(1, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 0 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = 0 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $x - 1$ .

$y - 4 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

Этап 3