Математический анализ Примеры

${(x - y - 1)}^{3} = x$ ; $(1, - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x - y - 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y - 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - y - 1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

По правилу суммы производная $x - y - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y' + 0)$

Этап 1.2.5

Добавим $1 - y'$ и $0$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} (1 - y')$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Этап 1.2.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} + 3 {(x - y - 1)}^{2} (- y')$

Этап 1.2.6.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y' = 1$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок множителей в $3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 {(x - y - 1)}^{2} y'$ .

$3 {(x - y - 1)}^{2} - 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $3 {(x - y - 1)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ на $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $- 3 y' {(x - y - 1)}^{2} = 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}$ на $- 3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y' {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель ${(x - y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' {(x - y - 1)}^{2}}{{(x - y - 1)}^{2}} = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Чтобы записать $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.2

Чтобы записать $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 {(x - y - 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.5.3.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.5.3.3.3.3

Умножим $\frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}{- 3 {(x - y - 1)}^{2}}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y' = \frac{- 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}} + \frac{- 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 1 - 3 {(x - y - 1)}^{2} \cdot - 1}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y' = \frac{- 1 + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) + 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $3 {(x - y - 1)}^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- 3 {(x - y - 1)}^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (1 - 3 {(x - y - 1)}^{2})}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.5.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - 3 {(x - y - 1)}^{2}}{3 {(x - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$- \frac{1 - 3 {((1) - y - 1)}^{2}}{3 {((1) - y - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}{3 {((1) - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1 - 3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1 - 3 {(2 - 1)}^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.3.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{1 - 3 \cdot 1^{2}}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1 - 3 \cdot 1}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.3.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- \frac{1 - 3}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.3.6

Вычтем $3$ из $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 - (- 1) - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(1 + 1 - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{- 2}{3 {(2 - 1)}^{2}}$

Этап 1.7.4.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1^{2}}$

Этап 1.7.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{- 2}{3 \cdot 1}$

Этап 1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Этап 1.7.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2}{3}$

Этап 1.7.6

Умножим $- - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Этап 1.7.6.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{2}{3}$ и координаты заданной точки $(1, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{2}{3} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 1 = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 1 = \frac{2}{3} \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + 1 = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + 1 = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 - 3}{3}$

Этап 2.3.2.5.2

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{5}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

Этап 3