Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x + 3}$ , $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{(1) + 3}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{(1) + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $1$ и $3$ .

$y = \sqrt{4}$

Этап 1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 2$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 2$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.11.2

Умножим $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.12

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{1}{2 {((1) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1.1

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.13.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.13.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Этап 2.13.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.13.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{4}$ и координаты заданной точки $(1, 2)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Этап 3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 2 = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 2$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1 + 8}{4}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 1$ и $8$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{7}{4}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{7}{4}$

Этап 4