Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 2) (x^{2} + 4)$ , $(1, - 5)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = - 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = x^{2} + 4$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x - 2) (2 x) + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x - 2$ .

$2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.2.5

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.2.7

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) (1 + 0)$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (x - 2) x + (x^{2} + 4) \cdot 1$

Этап 1.2.8.2

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$2 (x - 2) x + x^{2} + 4$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.3.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x^{2} + 4$

Этап 1.3.3.6

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 x + 4$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 4$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 4$

Этап 1.5.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 4$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$3 - 4 + 4$

Этап 1.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$- 1 + 4$

Этап 1.5.2.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$3$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(1, - 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = 3 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y + 5 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 5 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 5 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + 5 = 3 x - 3$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = 3 x - 3 - 5$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$y = 3 x - 8$

Этап 3