Математический анализ Примеры

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y^{2}$ ; $(3, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y^{2})$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 1.2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 1.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Этап 1.2.6.2

Изменим порядок множителей в $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x y^{2}$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$100 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$100 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$100 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$100 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$100 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$100 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Этап 1.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$100 (2 x y y' + y^{2})$

Этап 1.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$100 (2 x y y') + 100 y^{2}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $2$ на $100$ .

$200 x y y' + 100 y^{2}$

Этап 1.3.8.3

Изменим порядок членов.

$100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.3

Развернем $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.5

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.6

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.1

Перенесем $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.7.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.1.4.8

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 y^{2} + 200 x y y'$

Этап 1.5.2

Вычтем $200 x y y'$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2}$

Этап 1.5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вычтем $12 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3}$

Этап 1.5.3.2

Вычтем $12 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $4 y y'$ из $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 200 x y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $4 y y'$ из $12 y y' x^{2}$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $4 y y'$ из $12 y^{3} y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) - 200 x y y' = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $4 y y'$ из $- 200 x y y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 1.5.4.4

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 1.5.4.5

Вынесем множитель $4 y y'$ из $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' (- 50 x)$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Этап 1.5.5

Разделим каждый член $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ на $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Разделим каждый член $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) = 100 y^{2} - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ на $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.2.3

Сократим общий множитель $3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{100 y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $100$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $100 y^{2}$ .

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 (25 y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $25 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (25 y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.3

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5

Сократим общий множитель $- 12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x))}$

Этап 1.5.5.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.6.1

Вынесем множитель $y$ из $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.2

Чтобы записать $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Умножим $\frac{25 y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ .

$y' = \frac{25 y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{25 y \cdot y - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.5.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{25 (y \cdot y) - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$

Этап 1.5.5.3.6

Чтобы записать $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.5.5.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.7.1

Умножим $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y}$

Этап 1.5.5.3.7.2

Изменим порядок множителей в $(3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x) y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.9

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.9.1

Перенесем $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.5.5.3.9.2

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y^{2} - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} - 50 x)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 3$ в $y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$\frac{25 y^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot y^{2}}{y (3 {(3)}^{2} + 3 y^{2} - 50 \cdot 3)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{(1) (3 {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1} {(3)}^{2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{1 + 2} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Этап 1.7.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{1 (3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3)}$

Этап 1.7.4

Умножим $3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3$ на $1$ .

$\frac{25 {(1)}^{2} - 3 {(3)}^{3} - 3 \cdot 3 \cdot {(1)}^{2}}{3^{3} + 3 {(1)}^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{25 \cdot 1 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.2

Умножим $25$ на $1$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{25 - 3 \cdot 27 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.4

Умножим $- 3$ на $27$ .

$\frac{25 - 81 - 3 \cdot 3 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.5

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1^{2}}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{25 - 81 - 9 \cdot 1}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.7

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{25 - 81 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.8

Вычтем $81$ из $25$ .

$\frac{- 56 - 9}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.5.9

Вычтем $9$ из $- 56$ .

$\frac{- 65}{3^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1^{2} - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.6.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 65}{27 + 3 \cdot 1 - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.6.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 - 50 \cdot 3}$

Этап 1.7.6.4

Умножим $- 50$ на $3$ .

$\frac{- 65}{27 + 3 - 150}$

Этап 1.7.6.5

Добавим $27$ и $3$ .

$\frac{- 65}{30 - 150}$

Этап 1.7.6.6

Вычтем $150$ из $30$ .

$\frac{- 65}{- 120}$

Этап 1.7.7

Сократим общий множитель $- 65$ и $- 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 65$ .

$\frac{- 5 (13)}{- 120}$

Этап 1.7.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 120$ .

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

Этап 1.7.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \cdot 13}{- 5 \cdot 24}$

Этап 1.7.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{24}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{13}{24}$ и координаты заданной точки $(3, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{13}{24} \cdot (x - (3))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{13}{24} \cdot (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = \frac{13}{24} \cdot (x - 3)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = \frac{13}{24} x + \frac{13}{24} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{13}{24}$ и $x$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{24} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 (8)} \cdot - 3$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{3 \cdot 8} \cdot (3 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13}{8} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{13}{8}$ и $- 1$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{13 \cdot - 1}{8}$

Этап 2.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Умножим $13$ на $- 1$ .

$y - 1 = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13}{8}$

Этап 2.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 1 = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + 1$

Этап 2.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{13}{8} + \frac{8}{8}$

Этап 2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 13 + 8}{8}$

Этап 2.3.2.4

Добавим $- 13$ и $8$ .

$y = \frac{13 x}{24} + \frac{- 5}{8}$

Этап 2.3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{13 x}{24} - \frac{5}{8}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{13}{24} x - \frac{5}{8}$

Этап 3