Математический анализ Примеры

Упростим с помощью разложения.

Поскольку ${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Упростим выражение.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 2^{-\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Найдем производную в ${\displaystyle x=2}$.

Упростим.

Используем угловой коэффициент ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и координаты заданной точки ${\displaystyle (2,2)}$ вместо ${\displaystyle x_1}$ и ${\displaystyle y_1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой ${\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)}$, выведенном из уравнения с угловым коэффициентом ${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$.

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

Решим относительно ${\displaystyle y}$.