Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{x}$ at $(8, \frac{3}{8})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 8$ и $y = \frac{3}{8}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 8$ .

$- \frac{3}{{(8)}^{2}}$

Этап 1.7

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{64}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{3}{64}$ и координаты заданной точки $(8, \frac{3}{8})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{8}) = - \frac{3}{64} \cdot (x - (8))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} \cdot (x - 8)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{3}{64} \cdot (x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{3}{8} = 0 + 0 - \frac{3}{64} \cdot (x - 8)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{3}{8} = - \frac{3}{64} x - \frac{3}{64} \cdot - 8$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{64}$ .

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} - \frac{3}{64} \cdot - 8$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{64}$ в числитель.

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{64} \cdot - 8$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 (8)} \cdot - 8$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 \cdot 8} \cdot (8 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8 \cdot 8} \cdot (8 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3}{8} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 3}{8}$ и $- 1$ .

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{- 3 \cdot - 1}{8}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y - \frac{3}{8} = - \frac{x \cdot 3}{64} + \frac{3}{8}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y - \frac{3}{8} = - \frac{3 x}{64} + \frac{3}{8}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{3}{8}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{3 + 3}{8}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$y = \frac{- 3 x}{64} + \frac{6}{8}$

Этап 2.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{6}{8}$

Этап 2.3.2.4.2

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 (3)}{8}$

Этап 2.3.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{3 x}{64} + \frac{3}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{64} x) + \frac{3}{4}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{64} x + \frac{3}{4}$

Этап 3