Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4}$ at $x = - 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

Этап 1.2

Упростим $\frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$y = \frac{1}{6} \cdot 1$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{1}{6}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{6}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 1$ и $y = \frac{1}{6}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3})$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3}$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{4}{6}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6}$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6}$

Этап 2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3}}{3}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = - 1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{3}}{3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{3}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{3}$

Этап 2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{2}{3}$ и координаты заданной точки $(- 1, \frac{1}{6})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = - \frac{2}{3} \cdot (x - (- 1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 - \frac{2}{3} \cdot (x + 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 3.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{3}$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 3.3.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - \frac{1}{6} = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{6}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $- \frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2 \cdot 2 + 1}{6}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 + 1}{6}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 3}{6}$

Этап 3.3.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 (- 1)}{6}$

Этап 3.3.2.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2}$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$

Этап 4