Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 4}$ ; $x = 4$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = \frac{\sqrt{4} + 1}{\sqrt{4} + 4}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{\sqrt{4} + 1}{\sqrt{4} + 4}$

Этап 1.2.2

Упростим $\frac{\sqrt{4} + 1}{\sqrt{4} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2^{2}} + 1}{\sqrt{4} + 4}$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{2 + 1}{\sqrt{4} + 4}$

Этап 1.2.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{4} + 4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{2^{2}} + 4}$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{3}{2 + 4}$

Этап 1.2.2.2.3

Добавим $2$ и $4$ .

$y = \frac{3}{6}$

Этап 1.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = \frac{3 (1)}{6}$

Этап 1.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 1.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 1.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{1}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{x} + 4}]$

Этап 2.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} + 4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1] - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 4]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.12

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.13

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.14

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.16.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.17.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.17.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.18

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.19

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.4.1

Объединим противоположные члены в $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.4.1.1

Вычтем $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.1.2

Добавим $4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.2.4

Перепишем $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.3

Чтобы записать $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.4.4.1

Умножим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.4.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{4 - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.4.6.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1

Перепишем $\frac{\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.20.5.2

Умножим $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.21

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{3}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}} {({(4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.1.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} {(4^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} {(4^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2 \cdot 2^{1} {(4^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{2^{1 + 1} {(4^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3}{2^{2} {(4^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{2^{2} {({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2^{2} {(2^{2 (\frac{1}{2})} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2^{2} {(2^{2 (\frac{1}{2})} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2^{2} {(2^{1} + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2^{2} {(2 + 4)}^{2}}$

Этап 2.22.2.5

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{3}{2^{2} \cdot 6^{2}}$

Этап 2.22.2.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4 \cdot 6^{2}}$

Этап 2.22.2.7

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{3}{4 \cdot 36}$

Этап 2.22.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.3.1

Умножим $4$ на $36$ .

$\frac{3}{144}$

Этап 2.22.3.2

Сократим общий множитель $3$ и $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{144}$

Этап 2.22.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $144$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 48}$

Этап 2.22.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 48}$

Этап 2.22.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{48}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{48}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{1}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = \frac{1}{48} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{48} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{1}{48} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{48} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{48} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{48} x + \frac{1}{48} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{1}{48}$ и $x$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} + \frac{1}{48} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} + \frac{1}{4 (12)} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} + \frac{1}{4 \cdot 12} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} + \frac{1}{4 \cdot 12} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} + \frac{1}{12} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Объединим $\frac{1}{12}$ и $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} + \frac{- 1}{12}$

Этап 3.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{1}{2} = \frac{x}{48} - \frac{1}{12}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{48} - \frac{1}{12} + \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{48} - \frac{1}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 3.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{48} - \frac{1}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{x}{48} - \frac{1}{12} + \frac{6}{12}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{48} + \frac{- 1 + 6}{12}$

Этап 3.3.2.5

Добавим $- 1$ и $6$ .

$y = \frac{x}{48} + \frac{5}{12}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{48} x + \frac{5}{12}$

Этап 4