Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{x}}{x}$ , $(1, e)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = e$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{e^{1} ((1) - 1)}{{(1)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{e^{1} \cdot 0}{1^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Упростим.

$\frac{e \cdot 0}{1^{2}}$

Этап 1.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{e \cdot 0}{1}$

Этап 1.6.2.2

Умножим $e$ на $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 1.6.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $0$ и координаты заданной точки $(1, e)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = 0 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - e = 0 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $x - 1$ .

$y - e = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $e$ к обеим частям уравнения.

$y = e$

Этап 3