Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (1 - x^{2} + 2 x^{4})$ ; $x = 1$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \ln (1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \ln (1 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \ln (1 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = \ln (1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Этап 1.2.4

Упростим $\ln (1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \ln (1 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \ln (1 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Этап 1.2.4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$y = \ln (1 - 1 + 2 \cdot 1)$

Этап 1.2.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \ln (1 - 1 + 2)$

Этап 1.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = \ln (0 + 2)$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$y = \ln (2)$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = \ln (2)$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2} + 2 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Этап 2.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Этап 2.2.9.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{1 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Этап 2.3

Найдем производную в $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{1 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Этап 2.4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 + 2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{1 - 1 + 2}$

Этап 2.4.1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{0 + 2}$

Этап 2.4.1.6

Добавим $0$ и $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $8$ на $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Добавим $- 2$ и $8$ .

$6 (\frac{1}{2})$

Этап 2.4.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (3) \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 3 \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(1, \ln (2))$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (2)) = 3 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \ln (2) = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \ln (2) = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \ln (2) = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \ln (2) = 3 x + 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y - \ln (2) = 3 x - 3$

Этап 3.3.2

Добавим $\ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$y = 3 x - 3 + \ln (2)$

Этап 4