Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{4}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 1)}^{2}}{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем ${u_{1}}^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1}$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{- 4} d u_{1}$

Этап 3

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 1)}^{- 4} d u_{2}$

Этап 4

Пусть $u_{3} = u_{2} - 1$ . Тогда $d u_{3} = d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{3} = u_{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $u_{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $u_{2} - 1$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{2}$ , производная $- 1$ относительно $u_{2}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(u_{3} + 1)}^{2}$ в виде $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ .

$\int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u_{3} (u_{3} + 1) + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.8

Изменим порядок $u_{3}$ и $1$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.9

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.10

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{3}}^{2 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.14

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.15

Умножим $u_{3}$ на $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.16

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.18

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.19

Умножим $u_{3}$ на $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.20

Возведем $u_{3}$ в степень $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.22

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.23

Умножим $1$ на $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.24

Умножим ${u_{3}}^{- 4}$ на $1$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 5.25

Добавим ${u_{3}}^{- 3}$ и ${u_{3}}^{- 3}$ .

$\int {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 7

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- 2}$ по $u_{3}$ имеет вид $- {u_{3}}^{- 1}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 \int {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- 3}$ по $u_{3}$ имеет вид $- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим ${u_{3}}^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{{u_{3}}^{- 2}}{2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 10.2

Перенесем ${u_{3}}^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{3}}^{- 4}$ по $u_{3}$ имеет вид $- \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3}$ .

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

Этап 12.2

Перепишем $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$ в виде $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $\frac{1}{{u_{3}}^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{{u_{3}}^{3} \cdot 3} + C$

Этап 12.3.2

Перенесем $3$ влево от ${u_{3}}^{3}$ .

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3 {u_{3}}^{3}} + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $u_{2} - 1$ .

$- \frac{1}{u_{2} - 1} - \frac{1}{{(u_{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{2} - 1)}^{3}} + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$- \frac{1}{u_{1} + 1 - 1} - \frac{1}{{(u_{1} + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{1} + 1 - 1)}^{3}} + C$

Этап 13.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$- \frac{1}{x - 1 + 1 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- \frac{1}{x + 0 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Этап 14.2

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Этап 14.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x + 0 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Этап 14.4

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

Этап 14.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x + 0 - 1)}^{3}} + C$

Этап 14.6

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}} + C$