Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Тогда $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Этап 1.1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Этап 1.1.3.2.2

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 1.1.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 1.1.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 1.1.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = \ln (1)$

Этап 1.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{8})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Этап 1.5.1.2

Умножим $8$ на $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Этап 1.5.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $16$ из степени.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Этап 1.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Этап 1.5.4

Умножим $16$ на $1$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 3

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ в $16$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Этап 4.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Этап 4.4.2.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Этап 4.4.3

Добавим $\frac{4096}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Этап 4.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Этап 4.4.4.3

Сократим общий множитель $4096$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Этап 4.4.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Этап 4.4.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2048}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2048}{3}$

Десятичная форма:

$682.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$682 \frac{2}{3}$