Математический анализ Примеры

$\int \frac{6 \cos (t)}{{(2 + \sin (t))}^{2}} d t$

Этап 1

Пусть $u = 2 + \sin (t)$ . Тогда $d u = \cos (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 + \sin (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [2 + \sin (t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 + \sin (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{6}{u^{2}} d u$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$6 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \int u^{- 2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$6 (- u^{- 1} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $6 (- u^{- 1} + C)$ в виде $6 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \frac{1}{u} + C$

Этап 5.2.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 6}{u} + C$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $2 + \sin (t)$ .

$- \frac{6}{2 + \sin (t)} + C$