Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

Этап 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 6

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(u + 2)}^{2}$ в виде $(u + 2) (u + 2)$ .

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 6.5

Изменим порядок $u$ и $2$ .

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 7

Возведем $u$ в степень $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 8

Возведем $u$ в степень $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 11

Добавим $2 u$ и $2 u$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 12

Разделим $u^{2} + 4 u + 4$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

Этап 12.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

Этап 12.3

Умножим новое частное на делитель.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Этап 12.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Этап 12.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

Этап 12.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Этап 12.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Этап 12.8

Умножим новое частное на делитель.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

Этап 12.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 u + 0$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

Этап 12.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

Этап 12.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 13

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 15

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 17

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 18

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 19

Поскольку $7$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 20

Разделим $u + 2$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

$u$

$0$

$u$

$2$

Этап 20.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

Этап 20.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

Этап 20.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

Этап 20.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

Этап 20.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 21

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 22

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 23

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 24

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

Этап 25

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

Этап 26

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 27

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 28

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

Этап 29

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Упростим.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Этап 29.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Добавим $8 u$ и $7 u$ .

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Этап 29.2.2

Добавим $8 \ln (| u |)$ и $14 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Этап 29.2.3

Вычтем $3 \ln (| u |)$ из $22 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

Этап 30

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$