Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.1.3.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Этап 2.1.3.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 2.1.4.2.2

Добавим $0$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$