Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \csc (π A)$ . Тогда $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , следовательно $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \csc (π A)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ имеет вид $f' (g (A)) g' (A)$ , где $f (A) = \csc (A)$ и $g (A) = π A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $π$ является константой относительно $A$ , производная $π A$ по $A$ равна $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ имеет вид $n A^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Этап 1.1.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $A$ в $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Этап 1.3.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{6})$ : $2$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $A$ в $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Этап 1.5.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Этап 2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $- \frac{1}{π} u_{2}$ в $1$ и в $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{π}$ и $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Этап 4.4.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{π}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{π}$

Десятичная форма:

$0.31830988 \dots$