Математический анализ Примеры

$\int x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ в виде $- u + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u + 1}$ в виде ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int {(- u + 1)}^{1} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.1.5

Упростим.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3

Объединим $u^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int (- u + 1) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int - u \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.2

Объединим $- u$ и $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.8

Добавим $2$ и $3$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 4.9

Умножим $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ на $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (- \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{\frac{5}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 10

Объединим $\frac{2}{7}$ и $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{2}{5}$ и $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Этап 13.2

Упростим.

$- (- \frac{u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$- (- \frac{1}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{7} {(1 - x^{2})}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$