Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 1}{3}$

Этап 3.4.3.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$\frac{7}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{3}$