Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Этап 8.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $2$ и в $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.3.2.4

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 8.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

Этап 10.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы записать $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2

Объединим $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Этап 11.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Этап 11.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

Десятичная форма:

$0.39052429 \dots$