Математический анализ Примеры

$\int {(1 + 2 x)}^{4} \cdot 3 x d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int 3 {(1 + 2 x)}^{4} x d x$

Этап 2.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int 3 (1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1^{3} (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\int 3 (1 + 4 \cdot 1 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\int 3 (1 + 4 (2 x) + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1^{2} {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\int 3 (1 + 8 x + 6 \cdot 1 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.6

Умножим $6$ на $1$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 {(2 x)}^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.7

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (2^{2} x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 6 (4 x^{2}) + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.9

Умножим $4$ на $6$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 \cdot 1 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.10

Умножим $4$ на $1$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 {(2 x)}^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.11

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (2^{3} x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 4 (8 x^{3}) + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.13

Умножим $8$ на $4$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + {(2 x)}^{4}) x d x$

Этап 2.3.14

Применим правило умножения к $2 x$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 2^{4} x^{4}) x d x$

Этап 2.3.15

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\int 3 (1 + 8 x + 24 x^{2} + 32 x^{3} + 16 x^{4}) x d x$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 \cdot 1 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\int (3 + 3 (8 x) + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Этап 2.5.2

Умножим $8$ на $3$ .

$\int (3 + 24 x + 3 (24 x^{2}) + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Этап 2.5.3

Умножим $24$ на $3$ .

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 3 (32 x^{3}) + 3 (16 x^{4})) x d x$

Этап 2.5.4

Умножим $32$ на $3$ .

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 3 (16 x^{4})) x d x$

Этап 2.5.5

Умножим $16$ на $3$ .

$\int (3 + 24 x + 72 x^{2} + 96 x^{3} + 48 x^{4}) x d x$

Этап 2.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x + 24 x \cdot x + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Перенесем $x$ .

$\int 3 x + 24 (x \cdot x) + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{2} x + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Перенесем $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x \cdot x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 (x^{1} x^{2}) + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{1 + 2} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{3} x + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x \cdot x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 (x^{1} x^{3}) + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{1 + 3} + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{4} x d x$

Этап 2.7.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Перенесем $x$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x \cdot x^{4}) d x$

Этап 2.7.4.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 (x^{1} x^{4}) d x$

Этап 2.7.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{1 + 4} d x$

Этап 2.7.4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\int 3 x + 24 x^{2} + 72 x^{3} + 96 x^{4} + 48 x^{5} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x d x + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 24 x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 6

Поскольку $24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $24$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 \int x^{2} d x + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 72 x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 8

Поскольку $72$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $72$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 \int x^{3} d x + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 96 x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 10

Поскольку $96$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $96$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 \int x^{4} d x + \int 48 x^{5} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 48 x^{5} d x$

Этап 12

Поскольку $48$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $48$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 \int x^{5} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 24 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 72 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 96 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 48 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

Этап 14.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 48 \frac{x^{6}}{6} + C$

Этап 14.2.2

Объединим $48$ и $\frac{x^{6}}{6}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{48 x^{6}}{6} + C$

Этап 14.2.3

Сократим общий множитель $48$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.1

Вынесем множитель $6$ из $48 x^{6}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6} + C$

Этап 14.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 (1)} + C$

Этап 14.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{6 (8 x^{6})}{6 \cdot 1} + C$

Этап 14.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + \frac{8 x^{6}}{1} + C$

Этап 14.2.3.2.4

Разделим $8 x^{6}$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96 x^{5}}{5} + 8 x^{6} + C$

Этап 14.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} x^{2} + 8 x^{3} + 18 x^{4} + \frac{96}{5} x^{5} + 8 x^{6} + C$