Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{x^{5} - 8} \cdot 5 x^{4} d x$

Этап 1

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{x^{5} - 8}$ .

$\int 5 \sqrt{x^{5} - 8} x^{4} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{5} - 8$ . Тогда $d u = 5 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{5 x^{4}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{5} - 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{5} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{5} - 8)}^{\frac{3}{2}} + C$