Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Переставляем члены.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \sec (t) d t$

Этап 4

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$