Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Интеграл $\csc (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ в $\frac{3 π}{4}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Этап 3.2.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Этап 3.2.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Сделаем выражение отрицательным, поскольку котангенс отрицателен во втором квадранте.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.5.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ приблизительно равно $2.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Этап 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ приблизительно равно $0.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ на $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ на $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Этап 4.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Этап 4.4

Упростим.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Этап 4.5

Разделим $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ на $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Этап 4.6

Перепишем $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ в виде $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Этап 4.7

Добавим $\ln (\sqrt{2} + 1)$ и $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Десятичная форма:

$1.76274717 \dots$