Математический анализ Примеры

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} + 5$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

Этап 2

Поскольку $\frac{7}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{7}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{\frac{5}{4}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $\frac{5}{4}$ и $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

Этап 3.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{5}{4}}$ по $u$ имеет вид $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ в виде $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ .

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ в виде $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Этап 5.3.3

Умножим $7$ на $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Этап 5.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$