Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

Этап 3

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

Этап 4

Найдем значение $\sin (u)$ в $\frac{3 π}{2}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 5

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

Этап 6.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

Этап 6.5.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Этап 6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3}{2}$

Этап 6.7

Умножим $- - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Этап 6.7.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$1.5$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{1}{2}$